在前面的文章中有簡單的介紹平均值,在這裡對平均值作深入說明。

平均值可以細分為4:算術平均值、加權平均值、幾何平均值、調和平均值

一. 算術平均值(arithematic mean):一組數或量相加總,再除以該組數的個數,稱之為算術平均數。若有 n 個數,其算術平均數為X1X2X3…Xn的平均值為:

 

範例說明一:花家四位成員的年齡是1315 30 34,花家的平均年齡(平均數)為

如果n個數的資料被分成m組,假設第i組的次數為,組中點之值為,其中i=1,2,,m,則該分組資料的算術平均數為

 

 

範例說明二:三年二班身高如下表,求算術平均數。

組別(i)

身高(公分)

組中點()

組次數()

1

90.5~100.5

95.5

1

95.5

2

100.5~110.5

105.5

2

211

3

110.5~120.5

115.5

5

577.5

4

120.5~130.5

125.5

6

753

5

130.5~140.5

135.5

7

948.5

6

140.5~150.5

145.5

8

1164

7

150.5~160.5

155.5

3

466.5

8

160.5~170.5

165.5

2

331

合計

35

4722.5

 

 

二. 加權平均值(weighted mean):若一組數值資料有 n 個數,其數值資料為 ,其權數分別為,則此組數值資料的加權平均數就定義為:

 

加權平均數又可以稱為加權算術平均數,因為加權平均數的概念與算術平均數類似,不同點在於,數據中的每個數值對平均數的貢獻並不相等,有些數值比其他的數值更加重要。

因此,如果所有的權重相同,即所有的權值皆等於1,那麼加權平均數與算術平均數相同,此時加權平均數便等於算術平均數。

 

範例說明三:三年二班某位同學花柚子月考成績如下,若以每個科目的學分數為權數,計算其加權平均數:

科目

權數(

分數(

1

國語

3

30

90

2

英語

3

60

180

3

數學

4

50

200

4

生活

2

97

194

5

社會

1

98

98

合計

13

 

762

 

 

若以每個科目權重一樣,則其算術平均數:

 

以加權平均數來計算,花柚子不及格(58.62分低於60分),以算術平均數來計算,則花柚子及格。

 

三. 幾何平均值(Geometric mean):一種由 n 個正數之乘積的 n次根表示的平均數。即若有 n 個正數,其幾何平均數為:

 

範例說明四:若有 5個正數20,30,20,50,60,其幾何平均數為:

 

四. 調和平均值(Harmonic Average):調和平均數又稱倒數平均數,是變數倒數的算術平均數的倒數。

其計算公式如下

 

範例說明五:一組數分別為1,2,3,4,5計算調和平均值為

 

五. 算術平均數、調和平均數和幾何平均數的數量關係:

算術平均數、調和平均數和幾何平均數三者間存在如下數量關係:

 

    H≤G≤X 

 

並且只有當所有變數值都相等時,這三種平均數才相等

 

範例說明六:沿用範例說明五,計算算術平均值為

 

計算幾何平均值為

 

比較三種平均數的結果如下H(2.19)≤G(2.6)≤X(3)

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