在前面的文章中,有簡單的介紹平均值,在這裡對平均值作深入說明。
平均值可以細分為4種:算術平均值、加權平均值、幾何平均值、調和平均值。
一. 算術平均值(arithematic mean):一組數或量相加總,再除以該組數的個數,稱之為算術平均數。若有 n 個數,其算術平均數為X1,X2,X3,…Xn的平均值為:
範例說明一:花家四位成員的年齡是13、15 、30 、34,花家的平均年齡(平均數)為:
如果n個數的資料被分成m組,假設第i組的次數為,組中點之值為,其中i=1,2,⋯,m,則該分組資料的算術平均數為:
範例說明二:三年二班身高如下表,求算術平均數。
組別(i) |
身高(公分) |
組中點() |
組次數() |
|
1 |
90.5~100.5 |
95.5 |
1 |
95.5 |
2 |
100.5~110.5 |
105.5 |
2 |
211 |
3 |
110.5~120.5 |
115.5 |
5 |
577.5 |
4 |
120.5~130.5 |
125.5 |
6 |
753 |
5 |
130.5~140.5 |
135.5 |
7 |
948.5 |
6 |
140.5~150.5 |
145.5 |
8 |
1164 |
7 |
150.5~160.5 |
155.5 |
3 |
466.5 |
8 |
160.5~170.5 |
165.5 |
2 |
331 |
合計 |
35 |
4722.5 |
二. 加權平均值(weighted mean):若一組數值資料有 n 個數,其數值資料為 ,其權數分別為,則此組數值資料的加權平均數就定義為:
加權平均數又可以稱為加權算術平均數,因為加權平均數的概念與算術平均數類似,不同點在於,數據中的每個數值對平均數的貢獻並不相等,有些數值比其他的數值更加重要。
因此,如果所有的權重相同,即所有的權值皆等於1,那麼加權平均數與算術平均數相同,此時加權平均數便等於算術平均數。
範例說明三:三年二班某位同學花柚子月考成績如下,若以每個科目的學分數為權數,計算其加權平均數:
科目 |
權數( |
分數( |
||
1 |
國語 |
3 |
30 |
90 |
2 |
英語 |
3 |
60 |
180 |
3 |
數學 |
4 |
50 |
200 |
4 |
生活 |
2 |
97 |
194 |
5 |
社會 |
1 |
98 |
98 |
合計 |
13 |
|
762 |
若以每個科目權重一樣,則其算術平均數:
以加權平均數來計算,花柚子不及格(58.62分低於60分),以算術平均數來計算,則花柚子及格。
三. 幾何平均值(Geometric mean):一種由 n 個正數之乘積的 n次根表示的平均數。即若有 n 個正數,其幾何平均數為:
範例說明四:若有 5個正數20,30,20,50,60,其幾何平均數為:
四. 調和平均值(Harmonic Average):調和平均數又稱倒數平均數,是變數倒數的算術平均數的倒數。
其計算公式如下:
範例說明五:一組數分別為1,2,3,4,5,計算調和平均值為:
五. 算術平均數、調和平均數和幾何平均數的數量關係:
算術平均數、調和平均數和幾何平均數三者間存在如下數量關係:
H≤G≤X
並且只有當所有變數值都相等時,這三種平均數才相等
範例說明六:沿用範例說明五,計算算術平均值為:
計算幾何平均值為:
比較三種平均數的結果如下:H(2.19)≤G(2.6)≤X(3)
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